Градиентный спуск — это фундаментальный алгоритм оптимизации, используемый для минимизации функции потерь в машинном обучении и статистической оптимизации. Этот метод основан на идее, что если вы хотите найти минимум функции, вы должны двигаться в направлении, противоположном градиенту функции в данной точке.

Основные шаги алгоритма:

1. Инициализация: Начните с случайного значения параметра(ов) \( \theta \) (например, веса в линейной регрессии).

2. Вычисление градиента: Определите градиент функции потерь в текущей точке \( \theta \). Градиент показывает направление наискорейшего увеличения функции, поэтому для минимизации мы движемся в противоположном направлении.

3. Обновление параметра: Обновите параметр, двигаясь в направлении, противоположном градиенту:

   \[
   \theta := \theta - \eta \nabla_{\theta} J(\theta)
   \]
   где \( \eta \) — это скорость обучения, которая определяет размер шага.

4. Повторение: Повторяйте шаги 2 и 3, пока не будет достигнут критерий остановки (например, когда изменение \( \theta \) становится незначительным или количество итераций превышает предел).

Важные аспекты:

• Скорость обучения \( \eta \): Если скорость обучения слишком велика, может произойти "перепрыгивание" минимума, если слишком мала — процесс обучения будет очень медленным.
• Выбор начальной точки: Начальная точка может существенно повлиять на то, достигнет ли процесс локального минимума, глобального минимума или застрянет в плато.
• Нормализация данных: При работе с многомерными данными рекомендуется нормализовать данные, чтобы обеспечить равномерное масштабирование признаков. Это ускоряет сходимость градиентного спуска.
• Варианты градиентного спуска:

  - Стандартный градиентный спуск: Вычисляется на всём наборе данных.
  - Стохастический градиентный спуск (SGD): Градиент вычисляется на каждом шаге только по одному обучающему примеру, что делает метод менее стабильным, но гораздо быстрее.
  - Мини-пакетный градиентный спуск: Компромисс между первыми двумя методами, градиент вычисляется для небольшого подмножества данных (мини-пакета).

Пример:

```python
import numpy as np

def gradient_descent(x, y, lr=0.01, epochs=1000):
    m, b = 0, 0  # начальные параметры
    n = len(y)   # количество данных
    for _ in range(epochs):
        f = y - (m*x + b)  # функция потерь
        # Градиенты по m и b
        dm = -2 * np.sum(x * f) / n
        db = -2 * np.sum(f) / n
        # Обновление параметров
        m -= lr

 * dm
        b -= lr * db
    return m, b

# Пример данных
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 4, 5, 4, 5])

m, b = gradient_descent(x, y, lr=0.01, epochs=1000)
print(f"Наклон m: {m}, Пересечение b: {b}")
```

Этот код демонстрирует, как применять градиентный спуск для простой линейной регрессии.

April 14, 2024, easyoffer